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이론적 배경

이 페이지는 고급 시뮬레이션의 세 가지 해석 방법인 구조 해석(FEA), 유동 해석(CFD), 빠른 공력 해석(Vortex Method)의 이론적 기초를 설명합니다.

기반 이론을 이해하면 시뮬레이션을 올바르게 설정하고, 결과를 신뢰성 있게 해석하며, 각 해석 방법의 한계를 파악하는 데 도움이 됩니다.

1. 구조 해석: 유한 요소법(FEM)​

1.1. 개요​

EveryDrone의 구조 해석은 복잡한 형상에서 편미분 방정식을 수치적으로 해석하기 위해 유한 요소법(Finite Element Method, FEM)을 기반으로 합니다.

핵심 아이디어는 구조물을 유한 개의 작은 요소(격자)로 세분화하고, 각 요소에서 지배 방정식을 푸는 것입니다. 요소 경계에서의 해는 연속성이 보장되고, 전체 해는 각 요소 해를 조합하여 구성됩니다.

1.2. 지배 방정식​

정적 하중 조건에서 선형 탄성 고체의 평형 방정식은 다음과 같습니다.

K u=f\mathbf{K} \, \mathbf{u} = \mathbf{f}

각 항의 의미:

  • K\mathbf{K} — 전체 강성 행렬 (요소 강성 행렬의 조합)
  • u\mathbf{u} — 변위 벡터 (미지수)
  • f\mathbf{f} — 외부 하중 벡터 (적용 하중 및 경계 조건)

각 요소의 강성 행렬 Ke\mathbf{K}_e는 요소의 형상과 재료 특성으로부터 유도됩니다.

Ke=∫ΩeBTDB dΩ\mathbf{K}_e = \int_{\Omega_e} \mathbf{B}^T \mathbf{D} \mathbf{B} \, d\Omega

여기서 B\mathbf{B}는 변형률-변위 행렬, D\mathbf{D}는 재료 구성 행렬(Young's modulus와 Poisson's ratio를 통해 응력과 변형률을 연결)입니다.

1.3. 응력 및 변형률​

변위 u\mathbf{u}가 구해지면, 변형률 ε\boldsymbol{\varepsilon}과 응력 σ\boldsymbol{\sigma}는 다음과 같이 계산됩니다.

ε=B u,σ=D ε\boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{B} \, \mathbf{u}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{D} \, \boldsymbol{\varepsilon}

재료의 항복 여부를 평가하는 데 일반적으로 von Mises 응력이 사용됩니다.

σVM=(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22\sigma_{\text{VM}} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}}

여기서 σ1,σ2,σ3\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3은 주 응력(principal stress)입니다.

1.4. 가정 및 한계​

가정설명
선형 탄성재료 변형이 적용 하중에 비례합니다(Hooke의 법칙). 응력이 항복 강도 이하일 때 유효합니다.
소변형변형에 의한 형상 변화가 무시될 만큼 작다고 가정합니다. 대변형 문제에는 적용할 수 없습니다.
정적 하중관성(동적) 효과를 고려하지 않습니다. 정상 상태 하중 조건에 적합합니다.
등방성 재료모든 방향에서 재료 특성이 동일하다고 가정합니다. 주로 금속에서 등방성을 가지며, 복합재 또는 이방성 재료는 고려하지 않습니다.

2. 유동 해석: 전산유체역학 Reynolds 평균 Navier-Stokes 방정식 기반​

2.1. 개요​

EveryDrone의 유동 해석은 난류 유동의 평균적 거동을 기술하는 Reynolds 평균 Navier-Stokes(RANS) 방정식을 풉니다. RANS는 외부 공력 해석의 산업 표준 방법으로, 공학적 규모의 문제에 실용적인 계산 비용을 가집니다.

2.2. 지배 방정식​

비압축성 유동에 대한 RANS 방정식을 3차원 적분형으로 표현하면 다음과 같습니다. 여기서 Ω\Omega는 임의의 검사 체적, ∂Ω\partial \Omega는 그 경계면, n^\hat{\mathbf{n}}은 경계면의 외향 단위 법선 벡터, SmS_m은 체적 내 질량 소스항입니다.

연속 방정식 (질량 보존):

∂∂t∫Ωρ dΩ+∮∂Ωρ u‾⋅n^ dS=∫ΩSm dΩ\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega} \rho \, d\Omega + \oint_{\partial \Omega} \rho \, \overline{\mathbf{u}} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS = \int_{\Omega} S_m \, d\Omega

좌변 첫째 항은 검사 체적 내 질량의 시간 변화율, 둘째 항은 경계면을 통한 질량 플럭스, 우변은 체적 내 질량 소스(예: 증발, 화학 반응 등)를 나타냅니다. 비압축성 정상 상태이고 소스가 없는 경우(Sm=0S_m = 0), 이 식은 ∮∂Ωu‾⋅n^ dS=0\oint_{\partial \Omega} \overline{\mathbf{u}} \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS = 0으로 단순화됩니다.

운동량 보존:

∂∂t∫Ωρ u‾ dΩ+∮∂Ωρ u‾(u‾⋅n^)dS=−∮∂Ωp‾ n^ dS+∮∂Ω(τ−ρ u′⊗u′‾)⋅n^ dS+∫Ωρ g dΩ\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega} \rho \, \overline{\mathbf{u}} \, d\Omega + \oint_{\partial \Omega} \rho \, \overline{\mathbf{u}} \left( \overline{\mathbf{u}} \cdot \hat{\mathbf{n}} \right) dS = -\oint_{\partial \Omega} \overline{p} \, \hat{\mathbf{n}} \, dS + \oint_{\partial \Omega} \left( \boldsymbol{\tau} - \rho \, \overline{\mathbf{u}' \otimes \mathbf{u}'} \right) \cdot \hat{\mathbf{n}} \, dS + \int_{\Omega} \rho \, \mathbf{g} \, d\Omega

여기서 점성 응력 텐서 τ\boldsymbol{\tau}는 뉴턴 유체에 대해 다음과 같습니다.

τ=μ[∇u‾+(∇u‾)T]\boldsymbol{\tau} = \mu \left[ \nabla \overline{\mathbf{u}} + (\nabla \overline{\mathbf{u}})^T \right]

각 항의 의미:

  • u‾\overline{\mathbf{u}} — 시간 평균 속도 벡터 (3차원)
  • p‾\overline{p} — 시간 평균 압력
  • ρ\rho — 유체 밀도
  • μ\mu — 동점성 계수 (μ=ρν\mu = \rho \nu)
  • −ρ u′⊗u′‾-\rho \, \overline{\mathbf{u}' \otimes \mathbf{u}'} — 레이놀즈 응력 텐서 (난류 변동의 영향을 표현)
  • g\mathbf{g} — 중력 가속도 벡터 (체적력)
  • SmS_m — 질량 소스항 (연속 방정식 내 소스/싱크)
  • τ\boldsymbol{\tau} — 점성 응력 텐서
  • ⊗\otimes — 텐서곱 (dyadic product)

2.3. 가정 및 한계​

가정설명
정상 상태시간에 따른 물리값 변화가 없는 가정이므로 비정상 효과(예: 와류 방출)는 포착되지 않습니다.
비압축성 유동마하수 약 0.3 이하에서 유효합니다. 압축성이 강한 아음속, 천음속 또는 초음속 유동에는 적합하지 않습니다.
RANS 난류 모델LES, DNS 난류 모델과 같이 난류 구조를 직접 해석하지 않습니다.
단일 솔리드 형상솔버는 가져온 형상을 하나의 통합된 바디로 처리합니다.

3. 빠른 공력 해석 — Vortex Method​

3.1. 개요​

Vortex Method(패널법 또는 이산 형태의 Vortex Lattice Method라고도 함)는 비점성 포텐셜 유동 기반의 공력 솔버입니다. 프로펠러와 날개 같은 양력면의 비정상 공력 해석에 적합합니다.

3.2. 지배 방정식 — 포텐셜 유동​

Vortex Method는 비회전성(irrotational), 비점성(inviscid) 유동을 가정합니다. 속도장은 스칼라 포텐셜 ϕ\phi의 기울기로 표현됩니다.

u=∇ϕ\mathbf{u} = \nabla \phi

이를 연속 방정식에 대입하면 라플라스 방정식이 됩니다.

∇2ϕ=0\nabla^2 \phi = 0

이 방정식은 선형이므로 기본 해(source, doublet, vortices)의 중첩으로 풀 수 있습니다.

3.3. Vortex 패널​

형상 표면은 패널들로 이산화됩니다. 각 패널에 미지의 세기 Γ\Gamma를 가진 와류 필라멘트가 배치됩니다. 적용되는 경계 조건은 비관통 조건: 각 패널의 제어점에서 전체 속도(자유류 + 유도 속도)의 법선 성분이 0이어야 합니다.

(u∞+uinduced)⋅n^=0(\mathbf{u}_\infty + \mathbf{u}_\text{induced}) \cdot \hat{n} = 0

이를 통해 와류 세기 Γi\Gamma_i에 대한 선형 방정식 시스템이 구성됩니다.

∑jAijΓj=−u∞⋅n^i\sum_j A_{ij} \Gamma_j = -\mathbf{u}_\infty \cdot \hat{n}_i

여기서 AijA_{ij}는 패널 jj의 단위 와류가 패널 ii에 유도하는 법선 속도를 나타내는 공력 영향 계수입니다.

3.4. Vortex Shedding​

비정상 해석(예: 회전하는 프로펠러)에서는 각 시간 단계마다 후연에서 freestream vortex sheeding이 발생합니다. wake는 시간에 따라 발전하며, vorticity가 공력 하중에 미치는 영향을 포착합니다. 이를 통해 프로펠러의 시간 변동 추력과 토크를 효과적으로 예측할 수 있습니다.

3.5. 힘 계산 — Kutta-Joukowski 정리​

각 패널의 양력은 Kutta-Joukowski 정리를 통해 계산됩니다.

ΔF=ρ ulocal×(Γ Δl)\Delta \mathbf{F} = \rho \, \mathbf{u}_\text{local} \times (\Gamma \, \Delta \mathbf{l})

여기서 Δl\Delta \mathbf{l}은 bounded vortex segment vector, ulocal\mathbf{u}_\text{local}은 wake에 의해 유도된 현상을 포함한 국소 속도입니다.

3.6. 가정 및 한계​

가정설명
비점성점성 효과(표면 마찰, 경계층 박리)가 모델링되지 않습니다. 항력 예측은 유도 항력에만 한정됩니다.
퍼텐셜 유동유동은 부착 상태여야 합니다. 박리가 발생하는 고 받음각에서는 신뢰도가 저하됩니다.
Lifting Line Theory얇은 에어포일인 형상이 가장 정확합니다. 두꺼운 형상이나 뭉툭한 물체에서는 정확도가 낮습니다.

4. 해석 방법 비교​

FEACFD (RANS)Vortex Method
물리 모델고체 역학점성 난류 유동비점성 포텐셜 유동
계산 속도빠름느림빠름
정확도높음 (선형 탄성 범위 내)높음 (부착 유동)중간 (부착 유동에 한정)
비정상 해석불가불가 (정상 RANS)가능
점성 항력해당 없음가능불가
주요 용도응력, 변형양력, 항력, 압력 분포비정상 추력, 토크

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